【深大算法设计与分析】实验六 最大流应用问题（棒球赛问题） 实验报告 附代码、数据集

目录 一、实验目的与要求 二、实验内容与方法 三、实验步骤与过程 四、实验结论与体会 尾注 一、实验目的与要求 实验目的： 1. 掌握最大流

目录

一、实验目的与要求

二、实验内容与方法

三、实验步骤与过程

四、实验结论与体会

尾注

一、实验目的与要求

实验目的：

1. 掌握最大流算法思想。

2. 学会用最大流算法求解应用问题。

实验要求：

1. 解释流网络的构造原理。

2. 解释为什么最大流能解决这个问题。

3. 给出上面四个球队的求解结果。

4. 尽可能实验优化的最大流算法。

二、实验内容与方法

棒球赛问题：

图：四个球队的比赛情况

上面的表是四个球队的比赛情况，现在的问题是哪些球队有机会以最多的胜利结束这个赛季？可以看到蒙特利尔队因最多只能取得 80 场胜利而被淘汰，但亚特兰大队已经取得 83 场胜利，蒙特利尔队因为wi + ri < wj 而被淘汰。费城队可以赢83场，但仍然会被淘汰。如果亚特兰大输掉一场比赛，那么其他球队就会赢一场。所以答案不仅取决于已经赢了多少场比赛，还取决于他们的对手是谁。

请利用最大流算法给出上面这个棒球问题的求解方法。

三、实验步骤与过程

1. 解释流网络的构造原理，以及为什么最大流能解决这个问题。

本问题中，我们的求解思路如下：

首先讨论某一个队伍（记为A队）是否有机会在赛季中取胜的问题，我们首先可以确定的是：

①显然，A赢下接下来所有的比赛的情况是对其最优的，如果这种情况仍不能取胜，则不可能取胜；

②在①的情况下，A获胜的场次必须大于当前胜场最多的队伍。

但是，即使是同时满足了条件①、②，A也有可能无法在赛季中取胜。这是因为其他队伍之间也会进行比赛，而这些比赛有可能导致某几个队伍无论如何最终胜场都会超过A，使得A无法取胜。

为了讨论A是否有机会取胜的问题，我们可以首先假设A可以取胜：A赢得了所有未进行的比赛。其他队伍完成了所有的比赛，但是胜场都没超过A。

记A的最终胜场maxA，对于队伍B，记B当前胜场为currentB，则B最多还能赢下来的比赛场次是maxA-currentB（如果能全部赢下来，AB正好并列），其他所有队伍最多能赢下来的场次数以此类推。

接下来以“分配胜场”的方式进行求解：将与A无关的比赛的胜场，分配给除A的所有队伍，且使他们的胜场数都不超过A（此处使用上面的“最多还能赢下来的比赛场次”变量实现），即完成了比赛过程。而如果胜场无法全部分配，说明最终有队伍的胜场数会≥maxA，A无法取胜。分配胜场的过程，即可以使用最大流算法来实现。

本问题的流网络就可以由此得出：

对于每一个比赛队伍，我们需要对其构建一个流网络（还是以A为例）：

网络中的节点可以分为四类，且每一类在网络中处于同一层，同层之间互不相连：

源节点：从源节点出去的流量是与A无关的比赛的胜场数；

比赛节点：表示的是与A无关的所有比赛；

队伍节点：表示除A的